上周二晚自习后，小周老师抱着一摞单元卷进办公室，往我桌上一放，说：「师傅，溶液这一章我讲了两周，浓度计算还是错一片。」

我抽了最上面那份，32 人的卷子，浓度计算四个小题，全对的 11 人。剩下 21 份，错法只有四种，其中 13 个人错在同一个动作上。

不是不会算，是算之前没认清楚：这道题里的溶质到底是谁，溶液到底有多重。

浓度题的第一步不是算，是认人

我教书这些年，发现学生对浓度题有个误解，以为它考的是除法。其实它考的是两件事：认溶质，认溶液。

认溶质，要问三句：加进去的东西有没有跟水反应？有没有带结晶水？有没有不溶的部分？

认溶液，也要问三句：总质量是溶质加溶剂，还是只算了溶剂？给的是体积还是质量？有没有没溶完的固体沉在底下？

这六句问完，题已经做了一半。剩下的是除法，小学就会。

所以我不太赞成一上来就让学生背公式。公式只有一个：溶质质量分数等于溶质质量除以溶液质量，再乘百分之百。用 ω 表示，写成 ω 等于 m质 除以 m液。背下来只要十秒，可这十秒救不了那 21 份卷子。

三类题型，其实是同一条线上的三个位置

教材把浓度计算拆成好几节，学生就以为是好几个知识点。我一般把它们收成三类，收完只有三个位置：求分数、加水变稀、两杯倒一起。

求分数，是已知溶质和溶液，求比值；稀释，是溶质不动、溶液变大；混合，是两个溶液并成一个，溶质相加、溶液相加。

三类题共用一条判断链：先定溶质，再定溶液总量，然后看有没有饱和、有没有体积换算，最后统一单位再除。

这张表我让学生抄在笔记本扉页，不是为了背，是为了在考场上看一眼就知道自己在哪一类里，别把稀释题当成混合题做。

第一类：分母是溶液，不是水

这是最基础的一类，也是最容易出低级错的一类。

50 克水里放 10 克糖，全溶了，ω 是多少？溶质 10 克，溶液 60 克，ω 约 16.7%。分母是 60，不是 50。这个错，初一科学就该改掉，可到了初三还有人在犯。

稍微难一点的是「加了不一定全溶」。20℃ 时氯化钠的溶解度是 36 克，50 克水里放 20 克氯化钠，ω 是多少？

先算能溶多少：50 克水最多溶 18 克，剩下 2 克沉在杯底。溶液只有 68 克，溶质 18 克，ω 等于 18 除以 68，约 26.5%。

写成 20 除以 70 的，是既没判饱和、分母又算错，两个错叠在一起，答案 28.6%，跟正确答案差了 2 个百分点，看上去还挺像对的，所以自己不检查就交上去了。

这里顺手把「溶解度」和「质量分数」的区别说清。溶解度是 100 克水里能溶多少克，单位是克；质量分数是比值，没有单位。两者只在饱和时有固定换算：ω 等于 s 除以（100 加 s）。

这张表还有一层用处：让学生看见溶解度很小的物质，质量分数能小到什么程度。氢氧化钙的饱和溶液只有 0.16%，很多孩子第一次看到这个数，才知道「饱和」和「浓」不是一回事。

顺带提一句，氢氧化钙的溶解度随温度升高而减小，跟大多数固体相反。这个例外每年都考，每年都有人错。

第二类：稀释，变的只有水

稀释题的骨架只有一句：加水前后，溶质的质量一动不动。

所以列式永远是 m1 乘 ω1 等于 m2 乘 ω2。左边是稀释前溶质的质量，右边是稀释后溶质的质量，中间的等号就是「守恒」两个字。

难在两个地方。一个是 m2：加水之后，溶液质量等于原溶液质量加水的质量，不是原溶液里的水的质量加水的质量——这两个说法听起来差不多，算出来差一个溶质的重量。

另一个是给体积的题。100 毫升、密度 1.2 克每毫升、ω 为 20% 的溶液，加水 100 克，稀释后 ω 是多少？

先算原溶液质量 120 克，溶质 24 克。加水后总质量 220 克，ω 等于 24 除以 220，约 10.9%。

写成 12% 的，是把 100 毫升当成了 100 克，总质量算成 200 克。这个错很常见，因为学生做惯了「毫升就是克」的题，遇到密度就忘了乘。

我上课会专门问一句：一毫升水和一毫升浓硫酸，一样重吗？学生笑，说不一样。我说对，那你为什么把毫升当克用。

第三类：混合，质量能加，体积不能加

混合题比稀释题简单，因为没有「变」的过程，只是两杯倒在一起。

100 克 20% 的溶液和 200 克 5% 的溶液混合，溶质是 20 加 10 等于 30 克，溶液是 300 克，ω 是 10%。

这一类唯一容易错的地方，还是体积。两个 50 毫升的溶液倒在一起，体积不是 100 毫升，因为分子之间有间隙，混合后体积会缩小一点。密度不同的两种溶液混在一起，体积更是加不出来。

所以混合题给体积，第一步一律换成质量：m 等于 ρ 乘 V。

还有一道老题值得提：把 100 克 20% 的溶液倒掉一半，剩下的 ω 是多少？答案是 20%，不变。溶液是均一的，倒掉一半，浓度不变。这个判断每年都有一批人答 10%，他们把「倒掉溶质」和「倒掉溶液」混了。

五处错因，我从 A 编到 E

错因要编码，是因为「粗心」这两个字没有用。写「粗心」，学生只会说下次注意；写「B 类」，他知道要去补哪个动作。

我这几年收下来的错，归成五类，刚好对应五个判断动作。

五个代码里，A 和 B 是「认人」的阶段出的错，C 和 D 是「判断」的阶段出的错，E 是「收尾」的阶段出的错。

三个阶段对应三个动作，所以补课的方式也不一样。A、B 类要重讲概念，拿反应式和溶液组成练；C 类要专项练密度换算，二十道题就够；D 类要练一句口头判断「溶完了没有」；E 类最简单，要求每题最后一行单独写单位。

A 与 B：最难的两个，都在分子分母上

A 类我一般用两个例子讲透，一个增重，一个减重。

6.2 克氧化钠投入 93.8 克水中，ω 是多少？氧化钠遇水反应生成氢氧化钠，6.2 克氧化钠生成 8 克氢氧化钠。溶液总质量是 6.2 加 93.8 等于 100 克，ω 等于 8%。

写成 6.2% 的，是没写反应式。学生看到「氧化钠溶液」这四个字，就默认溶质是氧化钠，可实际上水溶液里根本没有氧化钠，只有氢氧化钠。

反过来减重的例子是胆矾。25 克胆矾溶于 75 克水，ω 是多少？胆矾是五水硫酸铜，溶进水里的溶质只有硫酸铜，质量是 25 乘 160 除以 250，等于 16 克；结晶水并进溶剂，溶液还是 100 克；ω 等于 16%。

写成 25% 的，是把结晶水也算成溶质了。这个错很顽固，因为 25 和 100 除出来太整齐，学生一看答案这么整，反而不怀疑。

我讲这一类会强调一句：溶质是溶在水里的那个东西，不是扔进水里那个东西。扔进去的是物质，溶在里头的才叫溶质。

C 与 D：两个最容易被跳过的判断

C 类的根子在小学。学生做应用题做久了，看到数字就想加，看到毫升就当成克。

要破这个习惯，只能靠一次直观的冲击。我上课会拿 50 毫升水和 50 毫升酒精倒进量筒，让学生看刻度——不到 100 毫升。看完那一眼，比讲十遍「分子间有间隙」有用。

D 类的根子在审题。题目说「加入 20 克」，不等于「溶解 20 克」；题目说「恰好饱和」，才是可以用溶解度的信号。

我要求学生在这类题上做一个动作：先在草稿上写「能溶多少」，再写「实际溶了多少」，两个数并排写，剩下的一眼就能看出来。

这个动作看起来笨，但它是唯一能让他自己发现错误的动作。老师讲一百遍「注意饱和」，不如让他自己算出那 2 克沉在杯底。

E：最后一步丢分最多

E 类不涉及思维，只涉及习惯，但它的扣分率不比 A 类低。

常见的三种：克和千克混着除，毫升没换成克，以及把 15% 当成 0.15 之后又除了一次。

还有一种更隐蔽的：题目给的是「多少克每升」，学生直接当质量用。这种题不多，但每次出现都有人栽。

我的要求很土：动笔前在草稿纸左上角写一行「全部换成克」，交卷前扫一眼每个答案后面有没有多余的字母。溶液的质量分数是比值，只能带百分号，不能带克。

代码怎么用：批一次卷，标三次

这套代码不是给学生贴标签的，是给老师看问题的。用法就三步。

批卷的时候不打勾叉，只在错处旁边写一个字母。一个孩子卷上同一个字母出现两次以上，说明是方法问题，得单独找他讲十分钟，不是让他多做十道题。

全班同一个字母出现率超过一半，说明是我讲漏了，下一节课重讲，不能往下赶进度。

某一道题的正确率低于 60%，那道题必须重讲，而且换一个例子讲。原题重讲一遍，学生只会记住答案。

最后一行那个 12.5%，是把两个浓度直接平均得来的。加权平均不是算术平均，质量不一样，权重就不一样，这一条要专门讲一次。

写在最后

溶液这一章，我教了十几届，年年都有人在同样的地方摔。摔的地方从来不是除法，是「认」这个动作。

认溶质，认溶液，认饱和，认单位。四个认清楚了，题目就只剩一步计算。

所以我不太主张让学生刷一整本浓度计算。刷题能让熟，不能让懂；错因不明的题，做十道错十道，还练出一身坏习惯。

小周后来照这个法子，把 A 到 E 抄在黑板角上，批一次卷标一次。三周后她拿新卷子来，A 类从 13 份降到 4 份，剩下最多的变成 E 类，六份，都是单位没换。

E 类好改，定一个「交卷前扫单位」的规矩，两周就能压下去。真正费时间的是 A 类，因为它要重讲反应，急不来。

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