辅助线不是灵感，是把图形里的信号翻译成已知条件。看不出该往哪儿画，通常是信号没认出来，不是天赋不够。

题干里出现中点、角平分线、垂直、平行，等于出题人已经把辅助线的位置指出来了。剩下的工作只是选一条路。

很多学生把辅助线当成运气。画对了是灵光一现，画错了是没天赋。这两种说法都不解决问题，因为下一次还是不会。

一、每个特殊点，都是一句提示

初中几何的图形信号就那么几个：中点、角平分线、垂直、平行、等腰。每一个都对应固定的几条辅助线。

信号认出来，作法就有了方向；信号认不出，就只能凭感觉试。试出来的线记不住，下次还得重试。

判断一句：几何题卡住，多数不是不会定理，是没把信号翻译成作法。

所以练辅助线，先练认信号，再练画线。顺序颠倒，画得再多也是散的。

认信号可以单独练：只给图不给题，让学生说出这张图上能用哪几条辅助线。一分钟一张图，比做十道题快。

二、看中点，三条路

第一条是中线。三角形一边的中点与对角顶点连起来，得到两个面积相等的三角形，因为等高、底相等。

第二条是中位线。两个中点连起来，平行于第三边，长度是第三边的一半。它把两条分散的边放进一个比例关系。

第三条是倍长中线。把中线延长一倍，连成平行四边形，用对边相等把分散的线段凑进同一个三角形。

三条路怎么选：要面积走中线，要平行或一半走中位线，要把线段搬家走倍长。

还有一条少见的用法：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。看到斜边中点，先想这一条。

中点题的共同点是把分散的条件聚到一起。聚不起来，就说明选错了路，退回来换一条。

倍长中线用的是全等，不是相似。延长之后要连哪两个点，按需要哪组边相等来定，不要凭习惯连。

三、看角平分线，三个动作

向两边作垂，得到两条相等的垂线段。这是角平分线最直接的性质，求距离类问题常从这里进。

沿角平分线翻折，构造全等。翻折之后，原来落在角两边上的线段会重合，等量关系一眼可见。

过角平分线上一点作一边的平行线，与另一边相交，得到一个等腰三角形。这条路径不常用，求角度时很省事。

三个动作有一个共同点：把角相等换成边相等或三角形全等。角不好用的时候，换成边就好用了。

作垂是最稳的一条，因为它直接产出一条可度量的线段。翻折最快，但要求图本身有对称的意思。

作平行线最巧，也最容易想不到。它的价值在于把角的关系平移到另一个位置，凑出一个等腰三角形。

三条路里，作垂是必修，翻折和作平行是选修。先把作垂练到不用想，再补另外两条。

四、看垂直，三种用法

一是三线合一。等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合，知道一条就有三条。

二是勾股。有直角就有平方关系，长度问题先想它。

三是面积法。同一个三角形用两种底高表示面积，能求高，也能求线段比例。

三种用法里，面积法最容易被忽略，但求高、求距离、证比例时往往最短。

三线合一要看清前提：必须是等腰三角形的底边。看错边，三条线就不重合，用下去整道题都错。

垂直还常常和角平分线一起出现。一条线既是高又是角平分线，三角形就是等腰的，这是一条常用的逆推。

出现两个垂直时，先看它们是不是同一个三角形的高。是，就想面积法；不是，就想平行或勾股。

五、三看对照表

这张表建议抄在错题本第一页。做题时先扫信号，再对表，比凭感觉一条条试要快得多。

表里没有的信号，就往这四类上靠。靠不上，说明图形还得再标一遍已知。

对表的时候一次只选一条。四条一起试，图上会画满线，反而看不出哪个等量有用。

六、五步落笔顺序

第三步的写清作法，是评分点。画对了不写，过程分照样扣。反问一句：图画对了，这道题就算做完了吗？

第五步最容易被跳过。验证不是重算一遍，是确认结论回答了题目问的那个量。

第一步标已知，建议用两种符号：等量用同一种记号，直角和平行各用一种。符号一乱，后面读图就要花时间。

第四步写依据，写的是定理名，不是理由的复述。写因为这是中点所以平行，等于没写依据。

七、三个常见错法

三个错法里，第三个最隐蔽。证明写完读一遍，某一步若用到题目要求证明的结论，这一步就是循环。

循环证明的卷面通常很好看，步骤齐全，逻辑却绕回了起点。检查它只需要一个动作：把结论遮住。

只画不算这一类，常见于会做的题。学生觉得一眼就看出来了，于是不写推导，考试时那几分就丢了。

三个错法都可以用一个习惯防住：每画一条线，就在旁边写一句作法。写不出作法，说明这条线是试出来的。

八、一道题的完整走法

拿到题，先把已知标完。标完通常会发现有一处空着，那处空着的地方，就是辅助线要去的位置。

再扫信号。看到中点先想三条路，看到角平分线先想垂线，看到垂直先想勾股或面积。

选定一条路，写清作法往下推。推两步走不通，退回来换一条，不要在一条路上硬推十行。

判断一句：换路不是放弃，是排除。排除掉的两条路，下次看到同类图形会直接跳过。

退回来的时候要留痕。在草稿上写一句这条路走不通的原因，比擦掉重画有用，因为原因可以复用。

九、课堂上怎么讲这一步

讲辅助线不要直接给图。先让学生标已知，再问图上有哪个信号，让他自己说出三条路里的一条。

学生选错也不要马上纠正，让他推两步，自己撞墙。撞过一次，这个方法才记得住。

一节课只讲一种信号，讲透。四种信号分四节课，比一节课讲十道题有用。

四节课的顺序按信号分，不按题型分。按题型讲，学生记住的是这道题；按信号讲，记住的是一类图。

每节课留五分钟做口头复盘：今天这个信号，第一反应是什么。答不上来的，下节课开头再问一遍。

四节课上完，用一张混合图做验收。图上有中点也有角平分线，让孩子说出三条可能的线，并挑一条说明理由。

十、家长能配合的两件事

第一件是看过程不看答案。答案对了但辅助线没写理由，这道题其实没做完。

第二件是让孩子讲一遍。讲得出来，说明他知道为什么这么画；讲不出来，说明是背下来的。

两件事都不需要懂几何。家长只要问一句这一步为什么，孩子答不上来，就是没懂。

还有一件家长容易做错的事：催着多做题。辅助线没过关的时候，做题只是把同样的错重复十遍。

先让一节课的题做透，再谈量。做透的标志是孩子能画出三种走法，并说出每种为什么可能行。

十一、错题本上怎么记一条辅助线

记三样：图、作法、为什么想到。图只画关键几条线，不抄整道题；作法写一句，为什么想到再写一句。

为什么想到那一句最值钱。写的是信号，比如看到中点想到倍长，而不是这题很难。

每周翻一次，只看为什么想到那一列。翻得多了，信号和作法之间会变成条件反射，画线就不用再试。

写在最后

辅助线画得好，靠的不是题做得多，是信号认得快。

把每次卡住的地方记下来，卡点会越来越少，路会越走越短。

一个学期攒下一本画满批注的图，比刷完三本练习册更有用。

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