期中卷最后一题，图形上画了一条虚线，题干只给了“AB=AC，D是BC的中点”。有学生盯着看了十分钟，草稿纸上什么也没画；也有学生直接连上AD，三步证完。

差别不在计算，在于看到“中点”两个字，脑子里会不会自动跳出“倍长中线”这个动作。

人教版八年级上册第12章是全等三角形，期中范围通常覆盖这一章或延续到下一章开头。这一章真正难的地方不在定义，而在题目不给辅助线、要学生自己加。期中丢分集中在少数几个模型上，把模型和信号对上，比盲目刷题有用得多。

五类模型速查：记住“出现什么条件，就做什么动作”

下面这张表建议贴在课本扉页。做几何题先看题干条件，找到对应动作再动笔。

这张表的价值在于把“想辅助线”变成了“查条件”。学生卡住，往往不是不会证，而是不知道该往哪画。

五类模型逐个拆：识别信号、解题思路、学生最常错在哪

倍长中线：全等三角形的第一个万能动作

信号是题干里出现中线或中点，尤其是“三角形一边上的中线”这类表述。做法是把中线延长一倍，连接端点，得到一对八字形全等三角形，对顶角与两组对边关系都能凑齐，原本分散的边角条件就被搬到同一个三角形里。

学生的常见错因有三个：一是延长后忘记把顶点连起来，图成了半成品；二是写全等时对应顶点顺序写错，后面用错边；三是延长了却没说清为什么延长，步骤分被扣。训练时要讲明白：倍长中线不是为了多画一条线，是为了把本该在一起的两条边凑到一个三角形里。

截长补短：证线段和差时最省步骤的做法

信号很明确——题目要证 a=b+c 或 a-b=c 这类结论。思路是把长线段拆成两段，或者把短线段延长到与长边相等。截长是在长线段上截出一段等于已知短边；补短是把短边延长补成与长边相等。

错因集中在“截错了位置”：学生凭感觉截点，截出来的点无法证明共线或重合。正确顺序是先明确要构造哪一组全等，再决定截点落在哪。另一个高频问题是只做了截（或补）的一半，证完没回到原结论。

角平分线：两条路，看题目要什么

出现角平分线有两种常用做法。需要“到两边距离”的信息时，向角的两边作垂线，得到两条相等垂线段，再证全等；需要“边相等”的信息时，沿角平分线把一侧图形翻折过去，构造轴对称全等。

最容易漏的是“垂直”这个前提。作完垂线必须写出垂直并说明垂足位置，角平分线上的点到两边距离相等这条性质要单独交代，不能直接拿去用。

垂直平分线：连两端，把距离相等变成工具

看到“垂直平分”或“中垂线”，第一步是把线段两个端点分别连到同一个点，得到两条相等线段，可以证等腰、证角相等，也可以和勾股定理结合求长度。

常见错因是把垂直平分线和角平分线的性质混着用，或者证出两边相等之后不再往下用，卡在半路。训练时要让学生养成习惯：每证出一组相等，立刻问自己这个相等能往哪个结论上推。

旋转构造：条件最隐蔽，认出来最省事

信号是图形里出现共顶点的两条相等线段，典型场景是等边三角形、正方形、等腰直角三角形，以及半角模型。思路是找到旋转中心和旋转角，把其中一个三角形转到另一个位置，让分散的角拼成新角。

这类题错得最多的是“转错方向”和“转了却不说为什么能转”。旋转的前提（对应边相等、旋转角相等）必须一步步写清楚，否则判卷时视为无效步骤。建议学生每做一道，都单独标注旋转中心、旋转角、旋转后的对应点。

丢分点归类：同一处错，原因可能完全不同

第二行值得单独讲：全等判据（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）本身不难，难的是对应关系。写全等符号时把对应顶点写错，后面用哪条边都会跟着错。这属于可以靠习惯纠正的问题——每次落笔前，先在心里数一遍哪个点对哪个点。

可打印训练清单：两周把五类模型练成条件反射

最后一项是拉开差距的关键。能设题的学生，说明他真正理解每个条件为什么能导向某个模型；只会照做题的学生，图形一换就又卡住了。

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写在最后

几何模型这类东西，最怕只留在一位老师的讲义里。老师一换，下一届学生又从头摸索。

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