一道摸球题讲完，学生点头说懂了。换一道同类的，他把二十种写成十种，答案差了整整一倍。

问他怎么数的，他说「红球三个，白球两个，一共五种，摸两次就是十种」。

这不是不会，是把「不放回」当成了「不放回的一半」。概率题丢分，多半不在算，在数。

先判工具：两步用表，三步用树

初中阶段能碰到的概率题，工具只有两个：列表法和树状图。选错的代价不是慢，是漏。

判定只要问两句：一共几步？每一步有几种结果？两步以内、每步结果数不多，用列表；三步及以上，或者要看清先后，用树状图。

表格第三行和第四行是分水岭。三步的题硬用列表，学生会把第三层塞进格子里，写成一个小表格套在大表格里，自己都看不清。

两步的题硬画树，不算错，只是慢。考试时慢就是错，因为后面还有题。

列表法怎么列：表头写清第一次、第二次

掷两枚骰子，横排写第一次的六个结果，竖排写第二次的六个结果，格子里写（第一次，第二次）。

三十六格填满，总数就是三十六，不用另外算。这一步的意义在于：总数是数出来的，不是想出来的。

格子里的写法要统一。写成（1，6）就要一直这么写，不能一半写（1，6）、一半写「一六」，否则数符合条件时容易重。

行列的先后不影响结果，但影响说理。表头写上「第一次」「第二次」，学生才知道（1，6）和（6，1）是两个不同的结果。

树状图怎么画：三层就够，别画第四层

第一层写第一步的所有结果，第二层在每个分支下面写第二步的结果，每个末端画一条短线，写上整条路径，比如（红，白）。

末端有几个，总数就是几个。不放回时，第二层每个分支下面少一个，末端总数就从五乘五变成五乘四，不用另算。

三层以上才需要树，四层以上的题初中很少见。真遇到四层，先把前两层合并成一个「结果」，再画两层。

画树最常犯的毛病是分支不齐。第一个分支画四条，第二个分支画五条，末端数出来一定不对。

四类题，四种数法

初中概率题翻来覆去四类：摸球、掷骰子、转盘、抽卡片。每类的总数怎么来，符合条件怎么数，各有一句口诀。

四类里最容易错的是第一类和第二类，因为长得像。题干里「摸出后不放回」六个字，决定了分母是二十五还是二十。

第二容易错的是抽卡片。有序和无序算出来的概率一样，但过程不一样；过程写成一半有序一半无序，答案对也算错。

例一：摸球不放回，两次都是红

袋中三个红球、两个白球，不放回地摸两次，求两次都是红球的概率。

总数：第一次五个分支，第二次每个分支下面四个，五乘四等于二十。树状图末端二十个，列表法二十格。

符合条件：第一次摸到红有三种，每个红球后面还剩两个红，三乘二等于六。

所以 P 等于六除以二十，等于十分之三。

把「不放回」改成「有放回」，同一道题变两个答案：总数五乘五等于二十五，符合三乘三等于九，P 等于二十五分之九。分母从二十变二十五，答案从十分之三变二十五分之九。

这道题讲完，一定要让学生自己改一遍题干，再算一遍。改题干比再做十道题有用。

例二：掷骰子两次，和为七

同时掷两枚骰子，求点数之和为七的概率。总数六乘六等于三十六，共三十六种。

和为七的组合：（1，6）（2，5）（3，4）（4，3）（5，2）（6，1），六种。

P 等于六除以三十六，等于六分之一。

易错点在中间。（1，6）和（6，1）是两个结果，不是重复。学生常常只数前三个，得到三十六分之三，答案变成十二分之一。

判别方法很简单：两枚骰子颜色不同，一个红一个蓝，红一出六、蓝一出六，一眼就是两种情况。没有颜色，就自己在草稿上标个「甲」「乙」。

例三：转盘与抽卡片，有序无序的分界

转盘甲二等份，红蓝各一；转盘乙三等份，标一、二、三。各转一次，求「红色且偶数」的概率。

总数二乘三等于六。符合条件只有「红配二」一种，P 等于六分之一。转盘题的关键是两份数相乘，不是相加。

再看抽卡片。四张卡片标一、二、三、四，不放回抽两张，求两数之和为五的概率。

按有序算：总数四乘三等于十二，符合（1，4）（4，1）（2，3）（3，2）四种，P 等于十二分之四，等于三分之一。

按无序算：总数六种组合，符合「一和四」「二和三」两种，P 等于六分之二，也等于三分之一。

结果一样，口径必须配套。有序的分母配有序的分子，无序的分母配无序的分子，混着写就错。

书写三步：先数 n，再数 m，再写 P

第一步写「所有等可能的结果共有 n 种」，并把 n 是怎么来的写出来，比如五乘四等于二十。

第二步写「符合条件的结果有 m 种」，同样写清怎么数的，比如三乘二等于六。

第三步写「P 等于 m 除以 n」，分数化简，十分之三不要写成二十分之六。

阅卷时按步骤给分，分母的来历是第一个给分点。只写一个答案，过程分一分没有。

还有一个细节：n 和 m 要写「种」，不要写「个」。「二十种结果」是概率的语言，「二十个结果」是数数的语言。

三个错误，三种纠正

三个错误在作业本上出现的频率最高，每个都配一句可以当场说的话。

第一个错误最隐蔽，因为算出来的分数往往还能化简，看起来很像对的。

第二个错误可以用一道题校正：三次摸球，至少一次摸到红。正面数要分三类，反面数只有一类——三次全白。反面数完用一减，一步就出来了。

第三个错误是读题问题，不是数学问题。让学生拿笔把「不放回」三个字圈出来，圈了再画图，错误率会明显下降。

十五分钟试听课怎么排

试听课只有十五分钟，讲不完一个章节，能讲完的是「怎么判断用哪个工具」。这一段讲透，家长能看到方法，学生能带走动作。

前五分钟不讲题，只讲判定。学生一旦会判，后面的题他自己能上手，这比多讲两道题更能让家长看见效果。

中间五分钟，教师只画第一层。第二层让学生补，补得对不对，一眼就能看出他懂没懂「不放回」。

后五分钟让学生说，不许写。说得清 n 和 m 的，才算真会；只会写答案说不清过程的，换一道题就露。

十五分钟结束时留一句话：下次课我们把树状图画到三层。这句话比任何宣传都管用，因为它说的是下一步做什么。

一张纸的课后清单

左边印两个空表：一个五乘五的方格，一个三层树状图的框架。方格用来练有放回，树状图用来练不放回。

右边印三道题：摸球不放回、掷骰子两次、抽卡片无序。每道题下面留三行——n 是多少、m 是多少、P 是多少。

只填这三行，不写完整过程。三行填得出来，说明数清楚了；填不出来，回到图上再数一遍。

家长看得懂这三行，学生也就知道自己卡在哪一行。一张纸，把课堂、作业、家长沟通三件事串在了一条线上。

写在最后

概率题丢分不在算，在数；数不清总情况，后面全错。

两个工具分工明确：两步看表，三步看树；工具选对，题就做完了一半。

把判定、画图、书写三步练成固定动作，再放进一份可反复用的题型清单里，学生换多少道题都不会乱。

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